Question

（2013•乌鲁木齐）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=

2

-1，则△ABC的周长为（　　）

• A．4+2

  2

• B．6
• C．2+2

  2

• D．4

Answer 1

分析：首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE=r，由OB=

2

OE=

2

r，可得方程：

2

-1+r=

2

r，解此方程，即可求得答案．

解答：解：连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴△OEB是等腰直角三角形，
设OE=r，
∴BE=OG=r，
∴OB=OG+BG=

2

-1+r，
∵OB=

2

OE=

2

r，
∴

2

-1+r=

2

r，
∴r=1，
∴AC=BC=2r=2，AB=2OB=2×（1+

2

-1）=2

2

．
∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=4+2

2

．
故选A．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．