Question

【题目】如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边AB上，且BE=2AE．将△ADE沿ED对折至△FDE，延长EF交边BC于点G，连结DG，BF．下列结论：①△DCG≌△DFG；②BG=GC；③DG∥BF；④S△BFG=3．其中正确的结论是（填写序号）

Answer 1

【答案】①②③
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=CD，∠A=∠C=90°，
∵△ADE沿ED对折至△FDE，
∴DF=AD，∠DFE=∠A=90°，
∴∠GFD=∠C=90°，
在Rt△DCG与Rt△DFG中， ，
∴△DCG≌△DFG，故①正确；
∴CG=CF，
设CG=x，则BG=6﹣x，
∵BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，
∴EG=x+2，
∵BG2+BE2=EG2 ，
∴（6﹣x）2+42=（x+2）2 ，
∴x=3，
∴BG=CG；故②正确；
∵BG=GF，
∴∠GBF=∠GFB，
∵∠CGF=∠GBF+∠GFB，
又∵∠CGF=∠CGD+∠FGD，
∴∠GBF+∠GFB=∠CGD+∠FGD，
∵∠CGD=∠FGD，∠GBF=∠GFB，
∴∠FGD=∠BFG，
∴DG∥BF，故③正确；
∵△BFG和△CEG中，分别把FG和GE看作底边，
则这两个三角形的高相同．
∴ = = ，
∵S△GBE= ×3×4=6，
∴S△BFG= ×6= ，
∴④错误；
正确的结论有3个，
所以答案是：①②③．
【考点精析】认真审题，首先需要了解正方形的性质(正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形)，还要掌握翻折变换（折叠问题）(折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等)的相关知识才是答题的关键．