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【题目】如图1,点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠AOC=60°,将一把直角三角尺的直角顶点放在点O处,一边OM在射线OB上,另一边ON在直线AB的下方.

1)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图2,使点NOC的反向延长线上,请直接写出图中∠MOB的度数,∠MOB=      

2)将图1中的三角尺绕点O逆时针旋转至图3,使一边OM在∠BOC的内部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度数.

3)将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转至图4,使ON在∠AOC的内部,请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系,并说明理由.

4)将图1中的三角尺绕点O以每秒钟15°的转速顺时针旋转一周,当时间t 秒钟时,ON所在的直线恰好平分∠AOC.(直接写答案)

【答案】(1)30°;(2)150°;(3)30°;(4)8或20秒.

【解析】试题分析:(1)根据对顶角求出∠BON,代入∠BOM=∠MON-∠BON求出即可;

(2)求出∠BOC=120°,根据角平分线定义请求出∠COM=∠BOM=60°,代入∠CON=∠MON+∠COM求出即可;

(3)用∠AOM和∠CON表示出∠AON,然后列出方程整理即可得解.

(4))分两种情况根据旋转的性质求出旋转角,然后除以旋转速度即可得解;

试题解析:(1)如图2,∵∠AOC=60°,

∴∠BON=∠AOC=60°,

∵∠MON=90°,

∴∠BOM=∠MON-∠BON=30°;

(2)∵∠AOC=60°,

∴∠BOC=180°-∠AOC=120°,

∵OM平分∠BOC,

∴∠COM=∠BOM=60°,

∵∠MON=90°,

∴∠CON=∠MON+∠COM=90°+60°=150°;

(3)∠AOM-∠NOC=30°,

理由是:∵∠MON=90°,∠AOC=60°,

∴∠AON=90°-∠AOM,

∠AON=60°-∠NOC,

∴90°-∠AOM=60°-∠NOC,

∴∠AOM-∠NOC=30°,

故∠AOM与∠NOC之间的数量关系为:∠AOM-∠NOC=30°.

(4)直线ON恰好平分锐角∠AOC时,

旋转角为90°+30°=120°或270°+30°=300°,

∵每秒顺时针旋转15°,

∴时间为820.

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