Question

10．如图1，二次函数y=ax²+bx的图象过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点P在该二次函数的图象上，点Q在x轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图3，一次函数y=kx（k＞0）的图象与该二次函数的图象交于O、C两点，点T为该二次函数图象上位于直线OC下方的动点，过点T作直线TM⊥OC，垂足为点M，且M在线段OC上（不与O、C重合），过点T作直线TN∥y轴交OC于点N．若在点T运动的过程中，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$为常数，试确定k的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①当AB为对角线时，根据中点坐标公式，列出方程组解决问题．②当AB为边时，根据中点坐标公式列出方程组解决问题．
（3）设T（m，m²-2m），由TM⊥OC，可以设直线TM为y=-$\frac{1}{k}$x+b，则m²-2m=-$\frac{1}{k}$m+b，b=m²-2m+$\frac{m}{k}$，求出点M、N坐标，求出OM、ON，根据$\frac{O{N}^{2}}{OM}$列出等式，即可解决问题．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax2+bx的图象过点A（-1，3），顶点B的横坐标为1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{3=a-b}\\{-\frac{b}{2a}=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$
∴二次函数y=x²-2x，
（2）由（1）得，B（1，-1），
∵A（-1，3），
∴直线AB解析式为y=-2x+1，AB=2$\sqrt{5}$，
设点Q（m，0），P（n，n²-2n）
∵以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
①当AB为对角线时，根据中点坐标公式得，则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+n}{2}=0}\\{\frac{{n}^{2}-2n}{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1-\sqrt{3}}\\{n=1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1+\sqrt{3}}\\{n=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$
∴P（1+$\sqrt{3}$，2）和（1-$\sqrt{3}$，2）
②当AB为边时，根据中点坐标公式得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+1}{2}=\frac{m-1}{2}}\\{\frac{{n}^{2}-2n-1}{2}=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3+\sqrt{5}}\\{n=1+\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=3-\sqrt{5}}\\{n=1-\sqrt{5}}\end{array}\right.$
∴P（1+$\sqrt{5}$，4）或（1-$\sqrt{5}$，4）．
故答案为P（1+$\sqrt{3}$，2）或（1-$\sqrt{3}$，2）或P（1+$\sqrt{5}$，4）或（1-$\sqrt{5}$，4）．
（3）设T（m，m²-2m），∵TM⊥OC，
∴可以设直线TM为y=-$\frac{1}{k}$x+b，则m²-2m=-$\frac{1}{k}$m+b，b=m²-2m+$\frac{m}{k}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{k}x+{m}^{2}-2m+\frac{m}{k}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{m}^{2}k-2mk+m}{{k}^{2}+1}}\\{y=\frac{k（{m}^{2}k-2mk+m）}{{k}^{2}+1}}\end{array}\right.$，
∴OM=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{{k}^{2}+1}•（{m}^{2}k-2mk+m）}{{k}^{2}+1}$，ON=m•$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴$\frac{O{N}^{2}}{OM}$=$\frac{m（{k}^{2}+1）\sqrt{{k}^{2}+1}}{mk-2k+1}$，
∴k=$\frac{1}{2}$时，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$．
∴当k=$\frac{1}{2}$时，点T运动的过程中，$\frac{O{N}^{2}}{OM}$为常数．

点评 本题考查二次函数综合题，平行四边形的判定和性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是利用参数，方程组解决问题，学会转化的思想，属于中考压轴题．