Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC的中点，过点A，D作⊙O，使圆心O在AB上，⊙O与AB交于点E．
（1）若∠A+∠CDB=90°，求证：直线BD与⊙O相切；
（2）若AD：AE=4：5，BC=6，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD，

∵OA=OD，

∴∠A=∠ADO，

又∵∠A+∠CDB=90°，

∴∠ADO+∠CDB=90°，

∴∠ODB=180°﹣（∠ADO+∠CDB）=90°，

∴BD⊥OD，

∴BD是⊙O切线

（2）解：连接DE，

∵AE是直径，

∴∠ADE=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠ADE=∠C，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴AD：AC=DE：BC

又∵D是AC中点，

∴AD= AC，

∴DE= BC，

∵BC=6，∴DE=3，

∵AD：AE=4：5，

在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，

那么DE=3x，

∴x=1

∴AE=5

【解析】（1）连接OD，由∠A=∠ADO，进而证得∠ADO+∠CDB=90°，而证得BD⊥OD；（2）连接DE，由AE是直径，得到∠ADE=90°，然后利用已知条件可以证明DE∥BC，从而得到△ADE∽△ACB，接着利用相似三角形的性质得到AD：AC=DE：BC，又D是AC中点，由此可以求出DE的长度，而AD：AE=4：5，在直角△ADE中，设AD=4x，AE=5x，那么DE=3x，由此求出x=1即可解决问题．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和三角形中位线定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．