Question

1．如图，AC是?ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=2，AC=2$\sqrt{3}$，求?ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；
（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，由勾股定理求出OB，得出BD，?ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∴OB=$\sqrt{A{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴BD=2OB=2，
∴?ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．