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     已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.

    (1)求、两点坐标,并证明点在直线上;

    (2)求二次函数解析式;

    (3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.

     


    解:(1)依题意,得

    解得,

    ∵点在点右侧

    ∴点坐标为,点坐标为

    ∵直线:

    当时,

    ∴点在直线上

    (2)∵点、关于过点的直线:对称

                ∴

                过顶点作交于点

    则,

                ∴顶点 

                代入二次函数解析式,解得

                ∴二次函数解析式为

    (3)直线的解析式为

          直线的解析式为

                由 解得 即,则

                ∵点、关于直线对称

                ∴的最小值是,

                过点作直线的对称点,连接,交直线于

    则,,

                ∴的最小值是,即的长是的最小值

                ∵∥

                ∴

                由勾股定理得

                ∴的最小值为

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    2.若二次函数y=ax+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

    3.在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由。

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （本小题10分）如图11，已知二次函数y= -x2 +mx +4m的图象与x轴交于
    A(x1，0)，B(x2，0)两点(B点在A点的右边)，与y轴的正半轴交于点C，且(x1+x2)- x1x2=10.
    （1）求此二次函数的解析式.
    （2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
    （3）连结BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S.请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.

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    已知,如图11,二次函数图象的顶点为,与轴交于、两点(在点右侧),点、关于直线:对称.

    (1)求、两点坐标,并证明点在直线上;

    (2)求二次函数解析式;

    (3)过点作直线∥交直线于点,、分别为直线和直线上的两个动点,连接、、,求和的最小值.

     


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    科目：初中数学 来源：2011年初中毕业升学考试（湖南娄底卷）数学 题型：解答题

    （本小题10分）如图11，已知二次函数y= -x2 +mx +4m的图象与x轴交于
    A(x1，0)，B(x2，0)两点(B点在A点的右边)，与y轴的正半轴交于点C，且(x1+x2)- x1x2=10.
    （1）求此二次函数的解析式.
    （2）写出B，C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标；
    （3）连结BM，动点P在线段BM上运动（不含端点B，M），过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S.请探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由.

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