Question

11．如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC于D，$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，BF交AD于E
（1）求证：AE=BE；
（2）探究线段AB、BE、BF之间的数量关系，并证明；
（3）若A、F把半圆BAC三等分，BC=12，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）连CF，AC，由在同圆中等弧对的圆周角相等得到∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，由同角的余角相等得到∠BAD=∠BCA，所以∠ABF=∠BAD，即BE=AE；
（2）连接AF，通过△ABE∽△ABF，即可得到结论；
（3）由A，F把半圆三等分，得到∠ACB=∠CBF=30°，而BC=12，得到AB=6，再根据∠BAD=∠ACB，得到∠BAD=30°，所以BD=3，最后在Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，即可求出BE．

解答 （1）证明：连CF，AC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AF}$，
∴∠BCA=∠ACF，∠ACF=∠ABF，
∵BC为圆的直径，∴∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠ACB=90°，
又AD⊥BC，∴∠ADB=90°，
∴∠ABC+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠BCA，
∴∠ABF=∠BAD，
即BE=AE；

（2）AB²=BE•BF；
证明：连接AF，
由（1）知，∠ABF=∠BAD，
∵∠ABF=∠AFB，
∴△ABE∽△ABF，
∴$\frac{AB}{BF}=\frac{BE}{AB}$，
∴AB²=BE•BF；

（3）∵A，F把半圆三等分，
∴∠ACB=∠CBF=∠ABF=30°，
∴∠BAD=30°，
在Rt△ABC中，BC=12，所以AB=$\frac{1}{2}$BC=6，
在Rt△ABD中，AB=6，所以BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
Rt△BDE中，∠CBF=30°，BD=3，
∴DE=$\frac{BD}{\sqrt{3}}$=$\frac{3}{\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$，
∴BE=2$\sqrt{3}$，
所以AE=2$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定和性质，以及含30°的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．