Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若∠B＝30°，AC＝6，OA＝2，直接写出阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O相切；理由见解析；（2）．

【解析】

（1）直线DE与⊙O相切，连接OD，由已知条件证明OD⊥DE即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接OE，根据阴影部分的面积=四边形CEDO-扇形DOM的面积计算即可．

（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：

连接OD，

∵OD＝OA，

∴∠A＝∠ODA，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB＝ED，

∴∠B＝∠EDB，

∵∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠ODA+∠EDB＝90°，

∴∠ODE＝180°﹣90°＝90°，

即OD⊥DE，

又∵OD为⊙O的半径，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接OE，

∵∠B＝30°，

∴∠A＝60°，

∵OD＝OA，

∴∠ODA＝∠A＝60°，

∴AD＝AO＝DO＝2，∠MOD＝120°，

∵AC＝6，∠B＝30°，

∴AB＝12，

∴BD＝10，

∵EF是BD的垂直平分线，

∴BF＝DF＝5，

∴EF＝，BE＝DE＝，

∴CE＝BC﹣BE＝，

∴阴影部分的面积＝四边形CEDO﹣扇形DOM的面积＝××4+××2﹣＝．