Question

定义A=、B=（a，b，m均为有理数）都是无理数，满足：①A+B=2a为有理数，②AB=a²-mb²为有理数．称A、B两数为一对共轭数．（如：，，∵+=6，=，∴，是一对共轭数）．
（1）已知，x₁，x₂是方程x²-4x=2的两个根，求x₁、x₂的值，并判别x₁、x₂是否是一对共轭数？
（2）在（1）的条件下，试判别x₁²、x₂²是否是一对共轭数？

Answer 1

解：（1）由方程x²-4x-2=0
解得：x₁==2+
x₂=2-
检验：x₁+x₂=4=2×2，x₁，x₂=-1=4-5×1=-1
故x₁，x₂是一对共轭数．

（2）x₂²=（2-）²=10-4，x₁²=（2+）²=10+4，
x₁²+x₂²=20，
x₁²x₂²=4．
故x₁²、x₂²是一对共轭数．
分析：（1）求得方程x²-4x=2的两个根后，检验是否本题所说的条件即可．
（2）由（1）求得两根，再求得x₁²、x₂²的值，看是否符合其定义．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=-，x₁•x₂=．并要根据共轭数的定义，计算出代数来判断．