Question

3．抛物线y=-x²+（m-1）x+m与y轴交于点（0，3），
（1）求抛物线的解析式；
（2）画出这条抛物线大致图象；
（3）若图象与y轴的交点为D，与x轴右侧交于点为A，顶点为B，求△ABD的面积．

Answer 1

分析 （1）把（0，3）代入y=-x²+（m-1）x+m即可m的值．
（2）根据抛物线的解析式即可画出图象．
（3）求出A、B、D三点的坐标，然后求出直线AD的解析式，过点B作BF⊥x轴于点F，交AD于点E，从而可求出△ABD的面积．

解答 解：（1）把（0，3）代入y=-x²+（m-1）x+m，
∴m=3，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，

（2）如图所示；

（3）令y=0代入y=-x²+2x+3，
∴0=-x²+2x+3，
∴x=3或x=-1
∴A（3，0）
抛物线的对称轴为x=1，
令x=1代入y=-x²+2x+3，
∴y=4，
∴B（1，4）
令x=0代入y=-x²+2x+3，
∴y=3，
∴D（0，3）
过点B作BF⊥x轴于点F，交AD于点E，
设AD的解析式为y=kx+b，
将点A（3，0）和D（0，3）代入y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$
∴解得：y=-x+3
令x=1代入y=-x+3，
∴y=2，
∴E（1，2），
∴BE=2，
∴S_△ABD=S_△BDE+S_△ABE
=$\frac{1}{2}$BE×OF+$\frac{1}{2}$BE×AF
=$\frac{1}{2}$BE×OA
=$\frac{1}{2}$×2×3
=3

点评 本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是求出抛物线的解析式以及抛物线与x轴、y轴的交点，本题属于中等题型．