Question

如图，在等边△ABC中，AB=6，AN=2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，则BM+MN的最小值是

 

．

Answer 1

分析：要求BM+MN的最小值，需考虑通过作辅助线转化BM，MN的值，从而找出其最小值求解．

解答：解：连接CN，与AD交于点M．则CN就是BM+MN的最小值．
取BN中点E，连接DE．
∵等边△ABC的边长为6，AN=2，
∴BN=AC-AN=6-2=4，
∴BE=EN=AN=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DE是△BCN的中位线，
∴CN=2DE，CN∥DE，
又∵N为AE的中点，
∴M为AD的中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴DE=2MN，
∴CN=2DE=4MN，
∴CM=

3

4

CN．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD=

3 3

2

，
∴CM=

CD2+MD2

=

3

2

7

，
∴CN=

4

3

×

3

2

7

=2

7

．
∵BM+MN=CN，
∴BM+MN的最小值为2

7

．
故答案为：2

7

．

点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．