如图，在平面直角坐标系中，OA=OB=OC=6，点G的线段OB上的一个动点，连接AG并延长BC于点D．分析 （1）作DH⊥AC于H，由OA=OB=OC=6，就可以得出∠ACB=45°，由三角形的面积公式就可以求出DH的值，就可以求出CH的值，从而求出D的坐标；
（2）根据OA=OB，再根据直角三角形的性质就可以得出△AOG≌△BOF，就可以得出OF=OG；由△AOG∽△AHD就可以得出OG的值，就可以求出F的坐标．
（3）根据条件作出图形图1，作PH⊥OB于H，PM⊥OC于M，由△PHB≌△PMF就可以得出结论，图2，作PH⊥OC于H，由△BOF≌△PHF就可以得出结论，图3，作PH⊥OB于H，由△BOF≌△PHB就可以得出结论．
解答 解：（1）如图1，
作DH⊥AC于H，
∴∠AHD=∠CHD=90°．
∵OA=OB=OC=6，
∴AC=12，
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×6×12=36，
∵△ABD的面积为△ABC面积的$\frac{1}{3}$．
∴△ACD的面积为△ABC面积的$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{2}{3}$×36=$\frac{1}{2}$×12DH，
∴DH=4．
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC．
∵∠BOC=90°，
∴∠BCO=∠OBC=45°，
∴∠HDC=45°，
∴∠HDC=∠DCH，
∴DH=CH．
∴CH=4．
∴OH=2，
∴D（2，4）；
（2）∵BE⊥AD，
∴∠BEG=∠AEF=90°，
∵∠AOB=∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠AEF=90°
∴∠AFB+∠FAG=90°，∠AFB+∠OBF=90°，
∴∠FAG=∠OBF．
在△AOG和△BOF中$\left\{\begin{array}{l}{∠AOG=∠BOF}\\{OA=OB}\\{∠FAG=∠OBF}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△BOF（ASA），
∴OF=OG；
∵∠AOG=∠AHD=90°，
∴OG∥DH，
∴△AOG∽△AHD，
∴$\frac{AO}{AH}=\frac{OG}{DH}$，
∴$\frac{6}{8}=\frac{OG}{4}$，
∴OG=3．
∴OF=3．
∴F（3，0）
（3）如图2，
当∠BPF=90°，PB=PF时，作PH⊥OB于H，PM⊥OC于M
∴∠PHB=∠PHO=∠PMO=∠PMC=90°
∵∠BOC=90°，
∴四边形OMPH是矩形，
∴∠HPM=90°，
∴∠HPF+∠MPF=90°．
∵∠BPF=90°，
∴∠BPH+∠HPF=90°．
∵∠BPH=∠FPM．
在△PHB和△PMF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BPH=∠FPM}\\{∠BHP=∠FMP}\\{BP=FP}\end{array}\right.$，
∴△PHB≌△PMF（AAS），
∴BH=FM．HP=PM，
∴矩形HPMO是正方形，
∴HO=MO=HP=PM．
∵CO=OB，
∴BO-OH=OC-OM，
∴BH=MC，
∴FM=MC．
∵OF=3，
∴FB=3，
∴FM=2，
∴OM=2
∴PM=2，
∴P（2，2）；
图3，
当∠BFP=90°，PF=BF时，作PH⊥OC于H，
∴∠OFB+∠PFH=90°，∠PHF=90°，
∴∠PFH+∠FPH=90°，
∴∠OFB=∠HPF．
∵∠BOF=90°，
∴∠BOF=∠FHP．
在△BOF和△PHF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOF=∠FHP}\\{∠OFB=∠HPF}\\{BF=FP}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△PHF（AAS），
∴OF=HP，BO=FH，
∴HP=3，FH=6，
∴OH=9，
∴P（9，3）；
图4，
当∠FBP=90°，PB=BF时，作PH⊥OB于H，
∴∠BHP=90°，
∴∠HBP+∠HPB=90°．
∵∠FBP=90°，
∴∠HBP+∠OBF=90°，
∴∠OBF=∠HBP．
∵∠FOB=90°，
∴∠FOB=∠BHP．
在△BOF和△PHB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBF=∠HBP}\\{∠FOB=∠BHP}\\{BF=PB}\end{array}\right.$，
∴△BOF≌△PHB（AAS），
∴OF=HB，OB=HP，
∴HC=3，HP=6，
∴HO=9，
∴P（6，9），
∴P（6，9），（9，3），（2，2）．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了坐标与图象的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时求三角形全等是关键．
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| A． | 3（$\frac{1}{2}$a-b） | B． | $\frac{1}{2}$a-3b | C． | 3（a-$\frac{1}{2}$b） | D． | （a-$\frac{1}{2}$）-3b |
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| A． | 2 | B． | 1 | C． | -1 | D． | -2 |
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如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，BC=7，AE=4，求DE的长．
如图所示，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=30°，则∠2=60°．