Question

已知，如图，直线l₁：y=-

3

2

x+3与y轴交于点A，与直线l₂交于x轴上同一点B，直线l₂交y轴于点C，且点C与点A关于x轴对称．
（1）求直线l₂的解析式；
（2）若点P是直线l₁上任意一点，求证：点P关于x轴的对称点P′一定在直线l₂上；
（3）设D（0，-1），平行于y轴的直线x=t分别交直线l₁和l₂于点E、F．是否存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出直线l₁：y=-

3

2

x+3与x、y轴交于点B、A的坐标，再由点C与点A关于x轴对称，求得点C的坐标；
（2）设P（x，y），点P关于x轴的对称点P′（x，-y），证明点P′（x，-y）的坐标满足直线l₂的解析式即可；
（3）假设存在t的值，由四边形ADEF为平行四边形，根据对边相等，有两点之间的距离求出t值．

解答：（1）解：∵直线l₁：y=-

3

2

x+3与x、y轴交于点B、A两点，
∴令x=0，则y=3
令y=0，则x=2
∴A（0，3），B（2，0），
∵点C与点A关于x轴对称，∴C（0，-3）；
设直线l₂的解析式为y=kx+b，
∴

2k+b=0 b=-3

，
解得k=

3

2

，b=-3，
∴直线l₂的解析式为y=

3

2

x-3；

（2）证明：设P（x，y），点P关于x轴的对称点P′（x，-y），
把点P′（x，-y）代入直线l₂的解析式，左边=-y，右边=

3

2

x-3；
又∵y=-

3

2

x+3，
∴-y=

3

2

x-3，
∴左边=右边，
∴点P关于x轴的对称点P′一定在直线l₂上．

（3）解：假设存在t的值，使四边形ADEF为平行四边形，
则E（t，

3

2

t-3）、F（t，-

3

2

t+3），
∴（

3

2

t-3）-（-

3

2

t+3）=3-（-1），
解得t=

10

3

，
∵B（2，0），
∴BN=

10

3

-2=

4

3

=BK，
OK=2-

4

3

=

2

3

，
即此时EF=-

3

2

×

2

3

+3-（

3

2

×

2

3

+3）=4=AD，
∴存在t的值，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则t的值为

10

3

或

2

3

．

点评：本题考查了一次函数和几何问题的综合应用，本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础．解答此题的关键是根据一次函数的特点，分别求出各点的坐标再计算．