Question

作图题：
如图（1）和（2），P是直线m一动点，A．B两点在m的同侧，且A、B所在直线与m不平行．（不写作法，请保留作图痕迹．）
（1）当P点运动到P₁位置时，距离A点最近；运动到P₂位置时，距离B点最近，在图（1）中的直线m上分别画出点P₁、P₂的位置；
（2）当P点运动到P₃位置时，与A点的距离和与B点距离相等．请在图（1）中作出P₃位置；
（3）在直线m上是否存在这样一点P₄使得到A点的距离与到B点的距离之和最小，若存在请在图（2）中作出这点，若不存在请说明理由；
（4）在直线m上是否存在这样一点P₅使得到B点的距离与到A点的距离之差最大．若存在请在图（2）中作出这点．若不存在请说明理由．

Answer 1

解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
分析：（1）当AP₁⊥m时，P₁距离点A最近；当BP₂⊥m时，P₂距离点B最近；
（2）作AB的垂直平分线交m于点P₃即可；
（3）作点A关于直线m的对称点A′，连接A′B交直线m于点P₄；
（4）求P₅的方法和（3）相同．
点评：用到的知识点为：垂线段最短；与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；求一直线同侧两点与直线上一点的距离之和最小，或是求这两点与直线上一点的距离之差的绝对值最大，都应从作一点关于直线的对称点入手思考．