Question

矩形ABCD中，AD=10，AB=6，将矩形ABCD折叠，折痕为EF
（1）当A与B重合时（如图1），EF=______；
（2）当直线EF过点D时（如图2），点A的对应点A′落在线段BC上，求线段EF的长；
（3）如图3，点A的对应点A′落在线段BC上，E点在线段AB上（E不与A、B重合），同时F点也在线段AD上（F不与A、D重合），则A′B的长的范围是______；
（4）如图4，矩形沿直线EF折叠后，A点的对应点A′落在线段DC上，且A′D=2，求折痕EF的长．

Answer 1

解：（1）如图1，当A与B重合时，D与C重合，根据折叠的性质，可知EF=AD=10；

（2）如图2，∵将矩形ABCD折叠，折痕为EF，点A的对应点A′落在线段BC上，
∴A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°．
在Rt△A′DC中，∵DC=AB=6，A′D=10，∠C=90°，
∴A′C==8，
∴A′B=BC-A′C=10-8=2．
设AE=x，则BE=6-x，A′E=x．
在直角△A′BE中，∵BE²+A′B²=A′E²，
∴（6-x）²+2²=x²，
解得x=．
在Rt△AEF中，EF===；

（3）如图3①，当F、D重合时，A′B的值最小；
根据折叠的性质知：AF=A′F=10；
在Rt△A′FC中，A′F=10，FC=6，则A′C=8，
此时A′B=10-8=2；
如图3②，当E、B重合时，A′B的值最大；
此时A′B=AB=6．
所以A′B的长的范围是2＜A′B＜6；

（4）如图4，设A′B′与BC交于点G，FD=x，则AF=A′F=10-x，
在RT△A′DF中，∵FD=x，A′F=10-x，A′D=2，∠D=90°，
∴（10-x）²=x²+2²，
解得x=4.8．
则FD=4.8，则AF=A′F=5.2．
在△A′DF与△GCA′中，
∵，
∴△A′DF∽△GCA′，
∴A′D：GC=DF：CA′=A′F：A′G，
∴2：GC=4.8：4=5.2：A′G，
解得GC=，A′G=，
∴B′G=A′B′-A′G=6-=．
在△B′GE与△CGA′中，
，
∴△B′GE≌△CGA′，
∴EG=A′G=，
∴CE=CG+EG=6，
∴EF===．
故答案为10，2＜A′B＜6．
分析：（1）当A与B重合时，D与C重合，根据折叠的性质，可知EF=AD=10；
（2）根据折叠的性质得到A′D=AD=10，∠A=∠EA′D=90°，在Rt△A′DC中利用勾股定理可计算出A′C=8，设AE=x，则BE=6-x，在Rt△EBA′中，利用勾股定理得（6-x）²+2²=x²，解得x=，然后在Rt△AEF中，利用勾股定理即可计算出EF；
（3）A′B最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=A′F，在Rt△A′FC中，利用勾股定理可求得A′C的长，进而可求得A′B的值，即A′B的最小值；A′B最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BA′=6，即A′B的最大值为6；由此得到A′B的取值范围；
（4）设FD=x，则AF=10-x，在RT△A′DF中利用勾股定理可解出x的值，再由△A′DF∽△GCA′，利用相似三角形的性质可得出CG、A′G的长度，得出B′G，再由△B′GE≌△CGA′，利用全等三角形的性质可得出EG的长度，然后利用勾股定理求出EF．
点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，有一定难度．