Question

如图，P是∠ABC的边BC上一点，sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半径为5．点O是射线BC上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与射线BA相切，同时又与⊙P相切，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,圆与圆的位置关系

专题：压轴题

分析：⊙P同时与⊙O和射线BA相切应分两种情况分类讨论：①当⊙P与⊙O外切；②当⊙P与⊙O内切．

解答：解：设⊙O的半径为r．设⊙O与射线BA相切于点D，连接OD，则∠BDO=90°．
①如图1，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半径为5，
∴

DO

BO

=

r

9+5+r

=

1

3

，
解得r=7；


②如图2，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半径为5，
∴

DO

BO

=

r

9-5-r

=

1

3

，
解得r=1；


③如图3，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半径为5，
∴

DO

BO

=

r

9+5-r

=

1

3

，
解得r=

7

2

；


④如图④，∵sin∠ABC=

1

3

，BP=9，⊙P的半径为5，
∴

DO

BO

=

r

9-5+r

=

1

3

，
解得r=2；

综合①②③④所述，符合条件的⊙O的半径是7，1，

7

2

和2．
故答案是：7，1，

7

2

和2．

点评：本题综合考查了直线与圆相切和两圆相切的知识，对学生建立系统的与圆相切有关的知识体系有很好的促进作用．