Question

如图，圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周，并且始终保持与正方形的边相切．
（1）在图中，把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来；
（2）当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大？并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题要先求出覆盖面积与圆的半径的函数关系式，圆在正方形中运动时覆盖的部分如图所示，中间正方形的面积易求得，而大正方形四角的面积可用以圆的直径为边长的小正方形的面积-一个圆的面积来求得．
（2）设出正方形的边长和圆的半径，根据上面得出面积求法可得出关于覆盖部分面积和圆半径的函数关系式，根据函数的性质即可判断出当圆的直径等于正方形的边长一半时，该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大．
解答：解：（1）圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下：

（2）圆的直径等于正方形的边长一半时，覆盖区域的面积不是最大，理由如下：
设正方形的边长为a，圆的半径为r，覆盖区域的面积为s．
∵圆在正方形的内部，
∴0＜r≤，
由图可知：S=a²-[（a-4r）²+4r²-πr²]，
=-（20-π）r²+8ar，
=-（20-π）（r-）²+，
∵0＜＜，
∴当r=时，S有最大值，
∵≠，
∴圆的直径等于正方形的边长一半时，面积不是最大．
点评：本题主要考查了正方形和圆的性质、二次函数的应用、图形面积的求法等知识．