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(本题满分12分)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是弧APB上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.

1.(1)求弦AB的长;

2.(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;

3.(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.

 

 

1.(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.

∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.

在Rt△OAF中,∵AF=,∴AB=2AF=

2.(2)∠ACB是定值.

理由:由(1)易知,∠AOB=120°,

因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,

因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°

3.(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.

AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.

=4,∴=4,∴l=8DE.

∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,

∴在Rt△CGD中,CG=DE,∴CH=CG=DE.

又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=

∴△ABC的周长为

解析:略

 

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(本题满分12分)

如图,直角梯形ABCD中,ABDC.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线lAD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).

(1)当时,求线段的长;

(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;

(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

 

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(本题满分12分)

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2.

 

 
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⑴直接写出A、C两点坐标和直线AD的解析式;

⑵如图2,质地均匀的正四面体骰子的各个面上依次标有数字-1、1、3、4.随机抛掷这枚骰子两次,把第一次着地一面的数字m记做P点的横坐标,第二次着地一面的数字n记做P点的纵坐标.则点落在图1中抛物线与直线围成区域内(图中阴影部分,含边界)的概率是多少?

 

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(本题满分12分)

如图,直角梯形ABCD中,ABDC.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线lAD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).

(1)当时,求线段的长;

(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;

(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.

 

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