Question

16．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当∠ABC=45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y=-2x+b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象于N．若只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求该一次函数与二次函数的解析式．

Answer 1

分析 （1）令y=0，则求得两根，又由点A在点B左侧且m＞0，所以求得点A的坐标；
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=45°，从而求得m的值；
（3）由x=2和-2代入二次函数式y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）中，并能求得交点坐标为（-2，2m+3）和（2，6m-9），则代入一次函数式即可求得m、b的值．

解答 解：（1）∵点A、B是二次函数y=mx²+（m-3）x-3（m＞0）的图象与x轴的交点，
∴令y=0，即mx²+（m-3）x-3=0，
整理，得：
（x+1）（mx-3）=0
解得x₁=-1，x₂=$\frac{3}{m}$，
又∵点A在点B左侧且m＞0
∴点A的坐标为（-1，0）；

（2）如图1，由（1）可知点B的坐标为（$\frac{3}{m}$，0），
∵二次函数的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，-3），
∵∠ABC=45°，
∴OB=$\frac{3}{m}$，
∴m=1；

（3）如图2，∵只有当-2＜n＜2时，点M位于点N的上方，
∴当-2＜n＜2时，y_N＜y_M，
即一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为-2和2，
把x=-2代入代入y=mx²+（m-3）x-3得y=2m+3，
∴交点E的坐标为（-2，2m+3），
把x=2代入y=mx²+（m-3）x-3得y=6m-9，
∴交点F的坐标为（2，6m-9），
∵E、F是直线y=-2x+b上的点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2m+3=4+b}\\{6m-9=-4+b}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴该一次函数的解析式为y=-2x+1，二次函数的解析式为y═x²-2x-3．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的综合题，第一问是常见的问题，令y=0可以解决，第二问根据等腰直角三角形的性质即可求得，第三问的关键是确定交点的坐标，难度较大．