Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，则CD=（　　）

A．2.5AB

B．3AB

C．3.5AB

D．4AB

Answer 1

过点B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，
∴AB=DM，AD=BM，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，
∴MC²=MB²+BC²，
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，

S1

S2

=

AD2

AB2

，

S2

S3

=

AB2

BC2

，
即AD²=

S1AB2

S2

，BC²=

S3AB2

S2

，
∴MC²=MB²+BC²=AD²+BC²=

S1AB2

S2

+=

S3AB2

S2

=

AB2(S1+S3)

S2

，
∵S₁+S₃=4S₂，
∴MC²=4AB²，MC=2AB，
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．
故选B．