Question

5．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴相交于A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当△BCP面积最大时，求点P的坐标；
（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+3，作PM∥y轴交BC于M，如图1，设P（x，-x²+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，-x+3），利用三角形面积公式得到∴S_△PCB=$\frac{1}{2}$•3•PM=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$，然后根据二次函数的性质求解；
（3）如图2，分类讨论：当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），利用点平移的坐标规律得到Q（4，a-3），然后把Q（4，a-3）代入y=-x²+2x+3中求出a即可得到Q点坐标；当四边形BCQD为平行四边形或四边形BQCD为平行四边形时，利用同样方法可求出对应Q点坐标．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把C（0，3）代入得a•1•（-3）=3，解得a=-1，
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+m，
把B（3，0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{m=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{m=3}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=-x+3，
作PM∥y轴交BC于M，如图1，
设P（x，-x²+2x+3），（0＜x＜3），则M（x，-x+3），
∴PM=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x，
∴S_△PCB=$\frac{1}{2}$•3•PM=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{9}{2}$=-$\frac{3}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，△BCP的面积最大，此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）；

（3）如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，
当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a-3），
把Q（4，a-3）代入y=-x²+2x+3得a-3=-16+8+3，解得a=-2，
∴Q（4，-5）；
当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（-2，3+a），
把Q（-2，3+a）代入y=-x²+2x+3得3+a=-4-4+3，解得a=-8，
∴Q（-2，-5）；
当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3-a），
把Q（2，3-a）代入y=-x²+2x+3得3-a=-4+4+3，解得a=0，
∴Q（2，3），
综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，-5）或（-2，-5）或（2，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数解析式；会运用点平移的坐标规律表示平行四边形的顶点坐标，连接坐标与图形性质．