Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，它的内切圆分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD与内切圆相交于另一点P，连接PC、PE、PF、FD，且PC⊥PF．
求证：（1）△PFD∽△PDC；（2）

EP

DE

=

PD

DC

．

Answer 1

分析：（1）证明三角形相似只要知道两个角相等即可，根据弦切角定理很容易的出∠PFD=∠PDC，由角度关系可以知道∠FPD=DPC，即可证明．
（2）要证

EP

DE

=

PD

DC

，由（1）知道

PF

FD

=

PD

DC

，只要证明

PF

FD

=

PE

ED

，根据AE、AF与圆相切，可以求得．

解答：解：（1）∵BC与圆相切，
∴∠PFD=∠PDC．
∵BF、BD分别于圆相切，
∴∠BFD=∠BDF=45°．
∴∠FPD=45°．
∵PC⊥PF，
∴∠FPD=∠DPC．
∴△PFD∽△PDC．

（2）∵AE、AF与圆相切，
∴∠AFP=∠ADF，∠AEP=∠ADE，
∵∠FAD=∠PAF，∠EAP=∠DAE，
∴△AFP∽△ADF，△AEP∽△ADE，
∴

AF

AD

=

PF

FD

、

AE

AD

=

PE

ED

且AE=AF，
∴

PF

FD

=

PE

ED

．
∵△PFD∽△PDC，
∴

PF

FD

=

PD

DC

．
∴

EP

DE

=

PD

DC

．

点评：本题主要考查三角形相切的性质，结合角度关系来求．注意线段之间的转化，方便求解．