Question

【题目】如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为 ( ）

A.B.C.D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

如图，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，则CO=2CE，OE=2，∠OCP=∠ECD，由△COP∽△CED，推出==2，即ED=OP=1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的⊙E上，由此即可解决问题．

解：如图，作△COE，使得∠CEO=90°，∠ECO=60°，则CO=2CE，OE=2，

∠OCP=∠ECD，

∵∠CDP=90°，∠DCP=60°，
∴CP=2CD，
∴==2，
∴△COP∽△CED，
∴==2，
即ED=OP=1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE=2+1，
∴OD的最大值为2+1，
故选C.