Question

【题目】如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．

（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；

（3）小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴CD′=CD=2，

在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，

∴∠CD′E=30°，

∵CD∥EF，

∴∠α=30°；

（2）

证明：∵G为BC中点，

∴CG=1，

∴CG=CE，

∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，

∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，

∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，

在△GCD′和△E′CD中

，

∴△GCD′≌△E′CD（SAS），

∴GD′=E′D；

（3）

解：能．理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴CB=CD，

∵CD′=CD′，

∴△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，

当∠BCD′=∠DCD′时，△CBD′≌△DCD′，

当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，则旋转角α= =135°，

当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，∠BCD′=∠DCD′= ∠BCD=45°

则α=360°﹣ =315°，

即旋转角a的值为135°或315°时，△BCD′与△DCD′全等．

【解析】（1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△E′CD，则GD′=E′D；（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．
【考点精析】本题主要考查了图形的旋转和旋转的性质的相关知识点，需要掌握每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．旋转的方向、角度、旋转中心是它的三要素；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了才能正确解答此题．