Question

如图，已知等边△ABC中，D、E两点在直线BC上，且∠DAE＝120°.
⑴判断△ABD是否与△ECA相似，并说明你的理由；
⑵当CE·BD＝16时，求△ABC的周长.

Answer 1

解：⑴证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.
∵∠DAE＝120°，∴∠DAB＋∠CAE＝60°.
∵∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，∴∠D＝∠CAE.
∵∠DBA＝∠ACE＝120°，∴△ABD∽△ACE；
⑵解：∵△ABD∽△ACE，∴，即AB·AC＝BD·CE.
∵BD·CE＝16，∴AB·AC＝16.
∵AB＝AC，∴，∴AB＝4，
∴△ABC的周长为12.

（1）由△ABC是等边三角形得到∠BAC＝60°，则∠DAB＋∠CAE＝60°，再由∠DAB＋∠D＝∠ABC＝60°，得∠D＝∠CAE，再有∠DBA＝∠ACE＝120°，即得△ABD∽△ACE；
（2）根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果。