Question

8．如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A，与二次图象交于y轴上的一点B，二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数图象另一交点为D．
①在抛物线上是否存在点P，使△BCD面积与△BDP面积相等．
②已知P为x轴上一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P坐标．

Answer 1

分析 （1）根据y=0.5x+2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2．得出可设二次函数y=ax²+bx+c=a（x-2）²，进而求出即可；
（2）①分点在直线AB上方和点P在直线AB下方两种情况，利用平行关系和对称性求出直线CP'，PH解析式再分别和抛物线解析式联立求出点P坐标．
②根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可

解答 解：（1）∵y=0.5x+2交x轴于点A，
∴0=0.5x+2，
∴x=-4，
与y轴交于点B，
∵x=0，
∴y=2
∴B点坐标为：（0，2），
∴A（-4，0），B（0，2），
∵二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2，
∴可设二次函数y=a（x-2）²或y=a（x+2）²
把B（0，2）代入得：a=0.5
∴二次函数的解析式：y=0.5x²-2x+2或y=0.5x²+2x+2（对称轴在y轴左侧，舍去）；

（2）①如图，
当点P在直线AB下方时，
由（1）知，直线AB解析式为y=0.5x+2，
过点C作CP'∥AB，
∵C（2，0），
∴直线CP'的解析式为y=0.5x-1①，
∵抛物线的解析式：y=0.5x²-2x+2②，
联立①②得，$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0.5}\end{array}\right.$，
∴P'（3，0.5）；
当点P在直线AB上方时，
过点C作直线CE⊥AB于E，并延长，
∵直线AB解析式为y=0.5x+2③，C（2，0）
∴直线CE解析式为y=-2x+4④，
联立③④得，E（0.8，2.4），
∴点C关于直线AB的对称点H（-0.4，4.8），
过点H作MH∥AB，
∴直线HM解析式为y=0.5x+5⑤，
联立②⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=4.5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=8}\end{array}\right.$，
∴P（-1，4.5）或（6，8），
即：使△BCD面积与△BDP面积相等的点P的坐标为（3，0.5），（-1，4.5），（6，8）；
②（Ⅰ）如图1，

当B为直角顶点时，过B作BP₁⊥AD交x轴于P₁点
由Rt△AOB∽Rt△BOP₁
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{BO}{{P}_{1}O}$，
∴$\frac{4}{2}=\frac{2}{{P}_{1}O}$，
得：OP₁=1，
∴P₁（1，0），
（Ⅱ）如图2，

作P₂D⊥BD，连接BP₂，
将y=0.5x+2与y=0.5x²-2x+2联立求出两函数交点坐标：
D点坐标为：（5，4.5），
则AD=$\frac{9\sqrt{5}}{2}$，
当D为直角顶点时
∵∠DAP₂=∠BAO，∠BOA=∠ADP₂，
∴△ABO∽△AP₂D，
∴$\frac{AB}{A{P}_{2}}=\frac{AO}{AD}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{A{P}_{2}}=\frac{4}{\frac{9\sqrt{5}}{2}}$，
解得：AP₂=11.25，
则OP₂=11.25-4=7.25，
故P₂点坐标为（7.25，0）；
（Ⅲ）如图3，

当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P₃（a，0）
则由Rt△OBP₃∽Rt△EP₃D
得：$\frac{O{P}_{3}}{DE}=\frac{a}{4.5}$，
∵方程无解，
∴点P₃不存在，
∴点P的坐标为：P₁（1，0）和P₂（7.25，0）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，函数图象的交点坐标的确定，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．