Question

如图，在?ABCD中，∠BAD的平分线AE交边CD于点E，∠ABC的平分线BF交边CD于点F，交AE于点G．
（1）求证：DF=EC；
（2）请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG为等腰直角三角形，并说明理由．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,等腰三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由角平分线知∠ADE=∠DEA，由平行知∠DEA=∠EAG，所以∠DAE=∠DEA，即AD=DE，同理CF=BC，又AD=BC，所以DE=CF，去掉公共部分，则有DF=CE；
（2）由于AE、BF是平行四边形一组邻角的平分线，所以△EFG已经是直角三角形了，要成为等腰直角三角形，则必须有FG=EG即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AD=BC．
∴∠DEF=∠EAB，
∵∠BAD的平分线AE交边CD于点E，
∴∠DAE=EAB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE，
同理可证：BC=CF，
∵AD=BC，
∴DE=CF，
∴DF=CE；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠AGB+∠BGA=90°．
∴∠AGB=90°．
∴∠FGB=90°．
因此我们只要保证添加的条件使得GF=FE就可以了．

点评：此题考查了平行四边形的基本性质，以及直角三角形的判定，难易程度适中．