Question

如图，在平面直角坐标系中，有一直角△ABC，且A（0，5），B（-5，2），C（0，2），并已知△AA₁C₁是由△ABC经过旋转变换得到的．
（1）问由△ABC旋转得到的△AA₁C₁的旋转角的度数是多少？并写出旋转中心的坐标；
（2）请你画出仍以（1）中的旋转中心为旋转中心，将△AA₁C₁、△ABC分别按顺时针、逆时针各旋转90°的两个三角形，并写出变换后与A₁相对应点A₂的坐标；
（3）利用变换前后所形成图案证明勾股定理（设△ABC两直角边为a、b，斜边为c）．

Answer 1

分析：（1）图象的旋转可以利用某点的旋转来找到旋转的角度和旋转中心；
（2）在解决题中第2问时，还需认真分析、观察旋转前后图案的特征，并利用其面积关系来验证勾股定理．
（3）利用正方形的面积的不同计算方法进行验证勾股定理．

解答：解：（1）旋转角为90°，中心坐标为（-1，1）；
（2）如图，点A₁对应点A₂的坐标为（-2，-3）；
（3）证明：正方形AA₁A₂B面积c²，正方形C₁C₂C₃C的面积（b-a）²，
设AC=b，BC=a，
则c2-(b-a)2=4×

1

2

ba
c²-b²+2ab-a²=2ba
∴c²=b²+a²

点评：本题考查了如何利用旋转来设计图案，同时也是考查点的坐标变化．在一定程度上也可以认为是考查学生的动手操作的能力和空间想象的能力．