Question

2．如图，在△ABC中，点D、E是BC边上的三等分点，点F在AB边上运动，点G在AC边上运动，在F、G运动过程中，若存在四边形FDEG是菱形，则△ABC必须满足的条件是（　　）

• A． AB=AC且∠A=120°
• B． △ABC为正三角形
• C． ∠A=90°
• D． 不存在这样的三角形

Answer 1

分析 作△ABC的中线AM，如图，设BC=3a，由于四边形FDEG是菱形，则FG=DE=GE=a，FG∥BC，则可判断△AFG∽△ABC，利用相似比得$\frac{AG}{AC}$=$\frac{FG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，由于$\frac{ME}{MC}$=$\frac{1}{3}$，则$\frac{AG}{AC}$=$\frac{ME}{MC}$，根据比例性质得$\frac{CG}{AC}$=$\frac{EC}{MC}$=$\frac{2}{3}$，于是可判断△CGE∽△CAM，利用相似比可计算出AM=$\frac{3}{2}$a，所以AM=$\frac{1}{2}$BC，根据三角形一边上的中线等于这边的一半的三角形为直角三角形可判断∠A=90°．

解答 解：作△ABC的中线AM，如图，设BC=3a，
当四边形FDEG是菱形，则FG=DE=GE=a，FG∥BC，
∴△AFG∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{FG}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∵ME=$\frac{1}{2}$a，
∴$\frac{ME}{MC}$=$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{1}{2}a+a}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AG}{AC}$=$\frac{ME}{MC}$，
∴$\frac{CG}{AC}$=$\frac{EC}{MC}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠GCE=∠ACM，
∴△CGE∽△CAM，
∴$\frac{GE}{AM}$=$\frac{2}{3}$，
∴AM=$\frac{3}{2}$a，
即AM=$\frac{1}{2}$BC，
∴△ABC为直角三角形，∠A=90°．
故选A．

点评 本题考查了菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．