Question

小刚为书房买灯．现有两种灯可供选购，其中一种是9瓦(即0.009千瓦)的节能灯，售价49元/盏；另一种是40瓦(即0.04千瓦)的白炽灯，售价18元/盏．假设两种灯的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800小时，并已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元．

(1)设照明时间是x小时，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费用；(注：费用＝灯的售价＋电费)

(2)小刚想在这两种灯中选购一盏．

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②试用特殊值判断：

照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？

照明时间在什么范围内，选用节能灯费用低？

(3)小刚想在这两种灯中选购两盏．

假定照明时间3000小时，使用寿命就是2800小时．请你帮他设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)用一盏节能灯的费用是(49＋0.0045x)元，用一盏白炽灯的费用是(18＋0.02x)元． 　　(2)①由题意，得49＋0.0045x＝18＋0.02x，解得x＝2000，所以当照明时间是2000小时时，两种灯的费用一样多． 　　②取特殊值x＝1500小时，则用一盏节能灯的费用是49＋0.0045×1500＝55.75(元)．用一盏白炽灯的费用是18＋0.03×1500＝48(元)，所以当照明时间小于2000小时时，选用白炽灯费用低；取特殊值x＝2500小时，则用一盏节能灯的费用是49＋0.0045×2500＝60.25(元)，用一盏白炽灯的费用是18＋0.02×2500＝68(元)，所以当照明时间超过2000小时时，选用节能灯费用低． 　　(3)分下列三种情况讨论： 　　①如果选用两盏节能灯，则费用是98＋0.0045×3000＝111.5元；②如果选用两盏白炽灯，则费用是36＋0.02×300＝96(元)； 　　③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由(2)可知，当照明时间大于2000小时时，用节能灯比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800小时时，费用最低．费用是67＋0.0045×2800＋0.02×200＝83.6(元)； 　　综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800小时，白炽灯使用200小时时，费用最低． 　　剖析：这是一道决策性的问题，解决这类问题，决不能囿于并不熟悉的实际背景，而应撇开现象的东西，把握数学本质，转化为纯数学问题．因此构建函数模型，是解决此类问题的关键．

提示：

建立函数模型是解决有关“决策型”应用题的最常用、最重要的数学思想方法．在建立函数关系后，往往要进行分类讨论，根据函数值的大小关系确定自变量的取值范围，从而为决策提供依据．