Question

24、如图（1），已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在A、E的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．
（1）求证：BD=AE．
（2）猜想：BD与DE、CE之间的关系，并证明你的猜想．
（3）若直线AE绕A点旋转到图（2）位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果不需说明理由．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，由题中条件可得∠ABD=EAC，又有AB=AC，则有一个角及斜边相等，则可判定两三角形全等；
（2）有三角形全等可得三角形对应边相等，进而通过线段之间的转化，可得出结论；
（3）由题中条件同样可得出Rt△BAD≌Rt△AEC，得出对应线段相等，进而可得线段之间的关系．

解答：解：（1）证明∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC（2分）
在Rt△BDA和Rt△AEC中，∠ABD=∠EAC，AB=AC
∴Rt△BAD≌Rt△AEC，
∴BD=AE（5分）
（2）∵Rt△BAD≌Rt△AEC
∴AD=CE，BD=AE（6分）
∴BD=AE=AD+DE=CE+DE（10分）
（3）BD=DE-CE．
理由：∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE
∴∠ABD+∠BAD=90°∠BAD+∠EAC=90，
∴∠ABD=∠EAC，
在Rt△BDA和Rt△AEC中，∠ABD=∠EAC，AB=AC
∴Rt△BAD≌Rt△AEC，
∴BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=DE-AD=DE-CE．

点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练运用其性质求解线段之间的关系．