分析 (1)根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证得四边形DEBF为平行四边形;
(2)由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得OE=OF=OA=$\frac{1}{2}$AC=2cm.然后由平行四边形DEBF的对角线的性质来求AE=CF的值.
解答 (1)证明:在?ABCD中,
∵AD∥BC,AD=BC,
∴∠EBC=∠ADF,
由题意知,BE=DF,
在△BEC与△DFC中,
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠FDC}\\{BC=AD}\end{array}\right.$,
∴△BEC≌△DFC(SAS),
∴CE=AF;
(2)①如图1,当点E、F分别在OB、OD上时.
∵在平行四边形ABCD中,OB=OD,OA=OC,
∴OE=OB-BE,OF=OD-DF,
∴OE=OF,
如图2,当点E、F分别在OD、OB上时.
∵OE=BE-OB,OF=DF-OD,
∴OE=OF.
∵OE=OF,OA=OC,
∴四边形DEBF为平行四边形.
②如图2,当t=2或t=12时以点A,C,E,F为顶点的四边形为矩形;
理由:由(1)知 OE=OF、OA=OC,要使∠EAF是直角,只需OE=OF=OA=$\frac{1}{2}$AC=2cm.
则∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
∴2∠2+2∠3=180°,
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°.
此时BE=DF=$\frac{1}{2}$(BD-EF)=$\frac{1}{2}$(8-4)=2cm或BE=DF=8-2=6cm
故答案为:t=2或t=6.
点评 本题考查了平行四边形的判定与性质.对角线互相平分的四边形是平行四边形.平行四边形的对角线互相平分,关键是(2)②要分类讨论.
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