Question

7．如图，在?ABCD中，对角线BD=8cm．AC=4cm．点E从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动，同时点F从点D出发沿着DB方向以同样的速度向点B运动，设点E，F运动的时间为t（s），其中0＜t＜8．
（1）求证：CE=AF；
（2）填空：
①以点A，C，E，F为顶点的四边形一定是平行四边形；
②当t的值为2或6时，以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形．

Answer 1

分析 （1）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形证得四边形DEBF为平行四边形；
（2）由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证得OE=OF=OA=$\frac{1}{2}$AC=2cm．然后由平行四边形DEBF的对角线的性质来求AE=CF的值．

解答 （1）证明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠EBC=∠ADF，
由题意知，BE=DF，
在△BEC与△DFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠EBC=∠FDC}\\{BC=AD}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△DFC（SAS），
∴CE=AF；
（2）①如图1，当点E、F分别在OB、OD上时．
∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
∴OE=OB-BE，OF=OD-DF，
∴OE=OF，
如图2，当点E、F分别在OD、OB上时．
∵OE=BE-OB，OF=DF-OD，
∴OE=OF．
∵OE=OF，OA=OC，
∴四边形DEBF为平行四边形．
②如图2，当t=2或t=12时以点A，C，E，F为顶点的四边形为矩形；
理由：由（1）知 OE=OF、OA=OC，要使∠EAF是直角，只需OE=OF=OA=$\frac{1}{2}$AC=2cm．
则∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°
即∠EDF=90°．
此时BE=DF=$\frac{1}{2}$（BD-EF）=$\frac{1}{2}$（8-4）=2cm或BE=DF=8-2=6cm
故答案为：t=2或t=6．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质．对角线互相平分的四边形是平行四边形．平行四边形的对角线互相平分，关键是（2）②要分类讨论．