Question

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径画圆．
求证：（1）AC是⊙D的切线；
（2）AB+EB=AC．

Answer 1

【答案】分析：（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD=DF等于半径，得出AC是⊙D的切线．
（2）先证明△BDE≌△FCD（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB=AF，得出AB+EB=AC．
解答：证明：（1）过点D作DF⊥AC于F；（1分）
∵AB为⊙D的切线，AD平分∠BAC，
∴BD=DF，（3分）
∴AC为⊙D的切线．（4分）

（2）∵AC为⊙D的切线，
∴∠DFC=∠B=90°，
在Rt△BDE和Rt△FCD中；
∵BD=DF，DE=DC，
∴Rt△BDE≌Rt△FCD（HL），（6分）
∴EB=FC．（8分）
∵AB=AF，
∴AB+EB=AF+FC，
即AB+EB=AC．（10分）
点评：本题考查的是切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；及全等三角形的判断，全等三角形的对应边相等．