Question

如下图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤6）那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根据题意分析可得：因为对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根据（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，由三角形的面积公式可得关系式，计算可得在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变；
（3）根据题意，在矩形ABCD中，可分为

QA

AB

=

AP

BC

、

QA

BC

=

AP

AB

两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答案．

解答：解：（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即：6-t=2t，
解得：t=2（s），
所以，当t=2s时，△QAP为等腰直角三角形．

（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，
∴S_△QAC=

1

2

QA•DC=

1

2

（6-t）•12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S_△APC=

1

2

AP•BC=

1

2

•2t•6=6t．
∴S_{四边形QAPC}=S_△QAC+S_△APC=（36-6t）+6t=36（cm²）．
由计算结果发现：
在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）．

（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD中：
①当

QA

AB

=

AP

BC

时，△QAP∽△ABC，那么有：

6-t

12

=

2t

6

，解得t=

6

5

=1.2（s），
即当t=1.2s时，△QAP∽△ABC；

②当

QA

BC

=

AP

AB

时，△PAQ∽△ABC，那么有：

6-t

6

=

2t

12

，解得t=3（s），
即当t=3s时，△PAQ∽△ABC；
所以，当t=1.2s或3s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：此题比较复杂，综合了等腰三角形、相似三角形的判定定理与性质，是一道具有一定综合性的好题．