Question

16．如图，经过点A作三条直线AB、AE、AF，他们的解析式分别是y=k（x+4），y=x+b和y=b-x，直线AB，AF分别和x轴交于B，F，再经过点A作AB的垂线AC，经过点D（0，4+4k）且和y轴垂直的直线交直线AC于点C，和直线AE交于点E．
（1）求证：BC=EF；
（2）求∠EAF的度数；
（3）点A在何处时，四边形BFEC是菱形？

Answer 1

分析 （1）根据过A的三条直线解析式，确定出b与k的关系式，且确定出B的坐标，根据直线AB与直线AC垂直，得到斜率的乘积为-1，表示出直线AC解析式，把D的纵坐标代入求出C的横坐标，进而确定出C坐标，同理表示出E坐标，利用两点间的距离公式表示出BC与EF，即可得证；
（2）由直线AE与直线AF斜率的乘积为-1，利用斜率的关系确定出AE与AF垂直，即可求出所求角的度数；
（3）表示出E与F的坐标，利用两点间的距离公式得到CE=BF，再由BC=EF，得到四边形BFEC为平行四边形，若四边形BFEC为菱形，则有邻边相等，即BC=BF，求出此时k的值，即可确定出A的坐标．

解答 解：（1）∵经过点A作三条直线AB、AE、AF，他们的解析式分别是y=k（x+4），y=x+b和y=b-x，
∴b=4k，B（-4，0），
∵直线AB解析式为y=k（x+4），且AB⊥AC，A（0，4k），
∴直线AC解析式为y=-$\frac{1}{k}$x+4k，
∵直线CE解析式为y=4+4k，
∴把y=4+4k代入直线AC解析式得：4+4k=-$\frac{1}{k}$x+4k，即x=-4k，即C（-4k，4+4k），
把y=4+4k代入直线AE解析式得：4+4k=x+4k，即x=4，即E（4，4+4k），
∵F（4k，0），
∴BC=$\sqrt{（-4k+4）^{2}+（4+4k）^{2}}$，EF=$\sqrt{（4k-4）^{2}+（4+4k）^{2}}$，
则BC=EF；
（2）∵直线AE、AF解析式分别是y=x+b和y=b-x，
∴k_AE•k_AF=-1，
∴AE⊥AF，
则∠EAF=90°；
（3）∵CE=4k+4，BF=4k+4，即CE=BF，且BC=EF，
∴四边形BFEC为平行四边形，
若四边形BFEC是菱形，则有BC=BF，即$\sqrt{（-4k+4）^{2}+（4+4k）^{2}}$=4k+4，
解得：k=1，即4k=4，
此时A坐标为（0，4）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，一次函数与坐标轴的交点，两直线垂直时斜率满足的关系，平行四边形的判定，以及菱形的判定，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．