Question

如图，AB是⊙O的直径，M是⊙O上一点，MN⊥AB，垂足为N，P、Q分别是、上一点（不与端点重合）．若∠MNP=∠MNQ，下面结论：
①∠PNA=∠QNB；②∠P+∠Q=180°；③∠Q=∠PMN；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．
正确的结论有（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer 1

【答案】分析：利用等角的余角相等得到①对．利用垂径定理，同弧所对的圆周角相等得②对．利用三角形内角和定理得③错．利用三角形相似得④错，⑤对．
解答：解：延长QN交圆O于C，延长MN交圆O于D，如图：
∵MN⊥AB，
∴∠MNA=∠MNB=90°，
∵∠MNP=∠MNQ，
∴∠PNA=∠QNB，故①对；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故②错；
因为AB是⊙O的直径，MN⊥AB，=，
∵∠PNA=∠QNB，∠ANC=∠QNB，
∴∠PNA=∠ANC，
∴P，C关于AB对称，
∴=，
∴=，
∴∠Q=∠PMN，故③对；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ，
所以④错误，⑤对．
故选B．
点评：此题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．