Question

如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，BC边的垂直平分线DE交AC于E，交BC边于D，若AB=4厘米，BE=5厘米，△BCE的周长是18厘米，
（1）求BC的长．
（2）求证：∠ABC=2∠C．

Answer 1

解：（1）在△ABC中，
∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BE=CE=5厘米，
∵△BCE的周长是18厘米，
即BE+CE+BC=18厘米
∴BC=18-（CE+BE）=18-10=8（厘米）；

（2）∵DE是BC边的垂直平分线
∴BD=CD=4厘米，
∵AB=4厘米，
∴BD=BA，
在Rt△ABE和Rt△DBE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．
∴∠ABE=∠DBE
∴∠ABC=2∠EBC
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB
∴∠ABC=2∠C
分析：（1）根据垂直平分线的性质可得BE=CE，然后根据△BCE的周长是18厘米即可求得BC的长；
（2）根据三线合一定理即可求得BD的长，即可证明Rt△ABE≌Rt△DBE，然后根据等腰三角形的性质：等边对等角证明∠EBC=∠ECB即可证得．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质，正确证明Rt△ABE≌Rt△DBE是关键．