练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    3．如图，△ABC中，∠ACB=90°，过点A作射线AP⊥AB，点D是线段AC上一动点（不与点A、C重合），连接BD，过点D作DE⊥BD，交射线AP于点E．
    （1）如图①，当∠BAC=45°时，则线段AE与线段CD的数量关系为AE=$\sqrt{2}$CD；
    （2）如图②，当∠BAC=30°时，猜想线段AE与线段CD的数量关系，并说明理由；
    （3）当∠BAC=α时，直接写出线段AE与线段CD的数量关系（用含α的三角函数表示）

    分析 （1）如图1，作辅助线，构建三角形全等，证明△CDG是等腰直角三角形，得DG=$\sqrt{2}$CD，∠DGC=45°，再证明△EAD≌△DGB，可得结论；
    （2）如图2，作辅助线，过D作DF∥AB，交BC于F，先证得∠FDC=30°得：CF=$\frac{1}{2}$DF，证明△DAE∽△BFD，得$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{FD}$，则$\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{CD}$，可得结论；
    （3）如图3，同（2）可得结论．

    解答 解：（1）AE=$\sqrt{2}$CD，理由是：
    如图1，在BC上取一点G，使AD=BG，连接DG，
    ∵∠BAC=45°，∠ACB=90°，
    ∴△ACB是等腰直角三角形，
    ∴AC=BC，
    ∴AC-CD=BC-BG，
    即CD=CG，
    ∴△CDG是等腰直角三角形，
    ∴DG=$\sqrt{2}$CD，∠DGC=45°，
    ∴∠DGB=135°，
    ∵AP⊥AB，
    ∴∠BAP=90°，
    ∵∠DAE=90°+45°=135°，
    ∴∠DAE=∠DGB，
    ∵DE⊥DB，
    ∴∠EDB=90°，
    ∴∠EDA+∠BDC=90°，
    ∵∠BDC+∠DBC=90°，
    ∴∠EDA=∠DBC，
    ∴△EAD≌△DGB（ASA），
    ∴AE=DG，
    ∴AE=$\sqrt{2}$CD；
    故答案为：AE=$\sqrt{2}$CD；

    （2）AE=2CD，理由是：
    如图2，过D作DF∥AB，交BC于F，
    则∠FDC=∠BAC=30°，$\frac{AD}{CD}=\frac{BF}{CF}$，
    ∴$\frac{AD}{BF}=\frac{CD}{CF}$，
    ∵AP⊥AB，DE⊥BD，
    ∴∠BAP=∠BDE=90°，
    ∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，
    ∴∠ADE+∠BDC=90°，
    ∵∠ACB=90°，∠FDC=30°
    ∴∠DBC+∠BDC=90°，CF=$\frac{1}{2}$DF，
    ∴∠ADE=∠DBC，
    ∵∠DAE=∠BAC+∠BAP，∠BFD=∠FDC+∠ACB，
    ∴∠DAE=∠DBC，
    ∴△DAE∽△BFD，
    ∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{FD}$，
    ∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AE}{FD}$，
    ∴$\frac{DF}{CF}=\frac{AE}{CD}$，
    ∴$\frac{AE}{CD}$=2，即AE=2CD；

    （3）CD=AE•sinα，理由是：
    如图3，过D作DF∥AB，交BC于F，
    则∠FDC=∠BAC=α，$\frac{AD}{CD}=\frac{BF}{CF}$，
    ∴$\frac{AD}{BF}=\frac{CD}{CF}$，
    ∵AP⊥AB，DE⊥BD，
    ∴∠BAP=∠BDE=90°，
    ∵∠ADE+∠BDE+∠BDC=180°，
    ∴∠ADE+∠BDC=90°，
    ∵∠ACB=90°，∠FDC=α，
    ∴∠DBC+∠BDC=90°，sin∠FDC=sinα=$\frac{CF}{DF}$，
    ∴∠ADE=∠DBC，
    ∵∠DAE=∠BAC+∠BAP，∠BFD=∠FDC+∠ACB，
    ∴∠DAE=∠DBC，
    ∴△DAE∽△BFD，
    ∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{FD}$，
    ∴$\frac{CD}{CF}=\frac{AE}{FD}$，
    ∴$\frac{CD}{AE}=\frac{CF}{FD}$=sinα，
    ∴CD=AE•sinα．

    点评 本题是三角形的综合题，是常考题型，考查了三角形全等和相似的性质和判定、三角函数、直角三角形30°角的性质、等腰直角三角形的性质和判定，并运用了类比的方法解决几何问题，第一问中辅助线的作法是关键，条件改变后，第2问和3问就变成了证明两三角形相似，利用比例式解决问题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．小聪在学习时看到一侧材料：甲、乙两人去某风景区游玩，约好在飞瀑见面，早上，甲乘景区巴士从古刹出发，沿景区公路（如图1）去飞瀑；同时，乙骑电动自行车从塔林出发，沿景区公路去飞瀑．设两人行驶的时间为t（小时），两人之间相距的路程为s（千米），s与t之间的函数关系如图2所示，小聪观察、思考后发现了图2的部分正确信息：①两人出发1小时后第一次相遇；②线段CD表示甲到达飞瀑后，乙正在赶往飞瀑途中时s随t的变化情况，…，请你应用相关知识，与小聪一起解决下列问题．
    （1）求乙骑电动自行车的速度；
    （2）当甲、乙两人第一次相遇时，他们离飞瀑还有多少千米？
    （3）在行驶途中，当甲、乙两人之间相距的路程不超过1千米时，求t的取值范围．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    14．定义运算“※”为：a※b=$\left\{\begin{array}{l}{ab（b≥0）}\\{-ab（b＜0）}\end{array}\right.$
    （1）计算：3※4；
    （2）画出函数y=2※x的图象．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    11．如图，已知A（-3，n），B（2，-3）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象的两个交点．
    （1）写出一次函数和反比例函数的解析式y=-x-1，y=-$\frac{6}{x}$；
    （2）观察图象，直接写出方程kx+b-$\frac{m}{x}$=0的解；
    （3）观察图象，直接写出kx+b-$\frac{m}{x}$＜0的解集；
    （4）求△AOB的面积．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    18．观察下列有规律的数：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{12}$，$\frac{1}{20}$，$\frac{1}{30}$，$\frac{1}{42}$…根据规律可知第n个数是$\frac{1}{n（n+1）}$（n是正整数）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    8．请你写出一个以$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=-1\end{array}\right.$为解的二元二次方程组，这个方程组可以是$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    6．如图所示，有一个绳索拉直的木马秋千，秋千绳索AB的长度为4米，将它往前推进2米（即DE=2米），求此时秋千的绳索与静止时所夹的角度及木马上升的高度．（精确到0.1米）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图，AD是等边三角形BC边上的高，以AD为边作等边三角形△ADE，连结BE．
    求证：BE⊥AE．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    4．已知扇形的圆心角为60°，半径是2cm，则此扇形弧长为$\frac{2}{3}$πcm．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案