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(2001•昆明)如图,在直角坐标系中,半径为5的圆与x轴交于A、B两点,y轴相切于T点,且A,T是直线y=-2x+4与x轴,y轴的交点.
(1)求点T、A、B的坐标;
(2)抛物线y=ax2+bx+c经过A、B两点,并且顶点D在圆上,求D点坐标;
(3)求出(2)中A、B、D三点且使△ABD的面积是27的抛物线的解析式.

【答案】分析:(1)先根据直线AT的解析式求出T、A的坐标,根据OT的长和圆的半径即可得出圆心的坐标,根据圆的对称性以及A点的坐标即可求出B点的坐标.
(2)根据圆和抛物线的对称性可知,抛物线的顶点D和圆心M同在抛物线的对称轴上.设圆心为M,连接MA,MB,设过M且与y轴平行的直线与AB交于E,根据勾股定理即可求出ME的长,根据圆的半径的长和ME的长即可求出D点的坐标.
(3)根据△ABD的面积即可求出符合条件的D点,然后用待定系数法求解即可.
解答:解:(1)设圆心为M,连接MT,MA,MB,过M作ME⊥AB于E.
∵OT与圆M相切,且T为切点,
易知:T(0,4),
∴ME=OT=4,
∴M(5,4),
易知:A(2,0),根据圆的对称性可知:B(8,0),

(2)根据抛物线和圆的对称性可知点D和点M必在抛物线的对称轴x=5上,
由(1)知ME=4,
因此D(5,9)或(5,-1).

(3)已知S△ABD=AB•|yD|=3•|yD|=27,
∴|yD|=9,由(2)知D(5,9),
设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+9,则有a(8-5)2+9=0,a=-1,
∴y=-(x-5)2+9.
点评:本题主要考查了切线的性质、圆和抛物线的对称性、二次函数解析式的确定等知识.要注意(2)中不确定D点在x轴上方还是下方时要分类讨论不要漏解.
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