分析 (1)只要证明∠MED=∠MEA=22.5°,即可利用AAS证明△DEM≌△AEM.
(2)如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x,想办法构建二次函数,利用二次函数性质解决问题.
(3)不存在.假设存在,推出矛盾即可.
解答 (1)证明:如图2中,∵∠EMA=67.5°,∠BAE=90°
∴∠MEA=90°-∠EMA=90°-67.5°=22.5°,
∴∠MED=∠DEA-∠EMA=45°-22.5°=22.5°=∠MEA,
在△EMD和△EMA中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠EAM}\\{∠MED=∠MEA}\\{EM=EM}\end{array}\right.$,
∴△DEM≌△AEM.
(2)解:如图2中,作FG⊥CB,垂足为G.设AF=x,则CN=2x.
在Rt△ABC中,∠C=60°,AB=6,∴AC=$\frac{AB}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$,
∴CF=2$\sqrt{3}$-x,
在Rt△CFG中,FG=CF•sin60°=2$\sqrt{3}$-x)•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,
∴y=S△ABC-S△CFN=$\frac{1}{2}$AC•AB-$\frac{1}{2}$CN•FG,
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$×6-$\frac{1}{2}$•2x•(3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x)
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x2-3x+6$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$(x-$\sqrt{3}$)2+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$,
∴y的最小值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$.
(3)不存在.理由:
解:如图3中,作NH⊥NH于H.
当E、M、N共线时,∵NH∥AM,
∴$\frac{AM}{NH}$=$\frac{AE}{EH}$,
∴$\frac{t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{6-t}{6-t+2\sqrt{3}-t}$,
解得t=-2$\sqrt{3}$,不合题意.
∴不存在某时刻,使E、M、N三点共线.
点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、二次函数、勾股定理、平行线性质等知识,灵活运用这些知识是解题的关键,学会条件辅助线构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 5 | B. | $\sqrt{7}$ | C. | 4 | D. | 5或$\sqrt{7}$ |
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