Question

1．有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，∠C=60°，AB=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，∠E=45°，EF=6．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点A与点F重合，点E、F、A、C在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF以每秒1个单位的速度沿边AC匀速运动，DF与AB相交于点M．
（1）如图2，连接ME，若∠EMA=67.5°，求证：△DEM≌△AEM；
（2）如图3，在三角板DEF移动的同时，点N从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB向点B匀速移动，当三角板DEF的顶点D移动到AB边上时，三角板DEF停止移动，点N也随之停止移动．连接FN，设四边形AFNB的面积为y，在三角板DEF运动过程中，y存在最小值，请求出y的最小值；
（3）在（2）的条件下，在三角板DEF运动过程中，是否存在某时刻，使E、M、N三点共线，若存在，请直接写出此时AF的长；若不存在，请直接回答．

Answer 1

分析 （1）只要证明∠MED=∠MEA=22.5°，即可利用AAS证明△DEM≌△AEM．
（2）如图2中，作FG⊥CB，垂足为G．设AF=x，则CN=2x，想办法构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．
（3）不存在．假设存在，推出矛盾即可．

解答 （1）证明：如图2中，∵∠EMA=67.5°，∠BAE=90°
∴∠MEA=90°-∠EMA=90°-67.5°=22.5°，
∴∠MED=∠DEA-∠EMA=45°-22.5°=22.5°=∠MEA，
在△EMD和△EMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠EAM}\\{∠MED=∠MEA}\\{EM=EM}\end{array}\right.$，
∴△DEM≌△AEM．
（2）解：如图2中，作FG⊥CB，垂足为G．设AF=x，则CN=2x．
在Rt△ABC中，∠C=60°，AB=6，∴AC=$\frac{AB}{tan60°}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$，
∴CF=2$\sqrt{3}$-x，
在Rt△CFG中，FG=CF•sin60°=2$\sqrt{3}$-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴y=S_△ABC-S_△CFN=$\frac{1}{2}$AC•AB-$\frac{1}{2}$CN•FG，
=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{3}$×6-$\frac{1}{2}$•2x•（3-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²-3x+6$\sqrt{3}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-$\sqrt{3}$）²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴y的最小值为$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
（3）不存在．理由：
解：如图3中，作NH⊥NH于H．
当E、M、N共线时，∵NH∥AM，
∴$\frac{AM}{NH}$=$\frac{AE}{EH}$，
∴$\frac{t}{\sqrt{3}t}$=$\frac{6-t}{6-t+2\sqrt{3}-t}$，
解得t=-2$\sqrt{3}$，不合题意．
∴不存在某时刻，使E、M、N三点共线．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、二次函数、勾股定理、平行线性质等知识，灵活运用这些知识是解题的关键，学会条件辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．