Question

5．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD外的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为7$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 延长EA交FD的延长线于点M，可证明△EMF是等腰直角三角形，而EM=MF=AE+DF=7，所以利用勾股定理即可求出EF的长．

解答 解：延长EA交FD的延长线于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=DC=AD=5，
∵AE=3，BE=4，
∴AE²+BE²=AB²=25，
∴△AEB是直角三角形，
同理可证△CDF是直角三角形，
∴∠EAB=∠DCF，∠EBA=∠CDF，∠EAB+∠EBA=90°，∠CDF+∠FDC=90°，
∴∠EAB+∠CDF=90°
又∵∠EAB+∠MAD=90°，∠MDA+∠CDF=90°，
∴∠MAD+∠MDA=90°，
∴∠M=90°
∴△EMF是直角三角形，
∵∠EAB+∠MAD=90°，
∴∠EAB=∠MDA，
在△AEB和△DMA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠M=90°}\\{∠EAB=∠MDA}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△DMA，
∴AM=BE=4，MD=AE=3，
∴EM=MF=7，
∴EF=$\sqrt{M{E}^{2}+M{F}^{2}}$=7$\sqrt{2}$．
故答案为：7$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，是一道非常不错的中考题目，证明出三角形△EMF是等腰直角三角形是解题的关键．