Question

20．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AD交圆O于D点，过D作DF∥BC，交AB的延长线于F．
（1）求证：DF为圆O的切线；
（2）若AB为⊙O的直径，tan∠F=$\frac{3}{4}$，求sin∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由AD平分∠BAC，可得$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，由垂径定理，即可判定OD⊥BC，又由BC∥DF，证得结论；
（2）根据已知条件设OD=3a，DF=4a，根据勾股定理得到OF=5a，得到AF=8a，如图2，连接BD，由于DF与⊙O相切，得到∠BAD=∠FDB，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{BD}=\frac{AF}{DF}$=$\frac{8a}{4a}$=2，设AD=2k，BD=k，求得AB=$\sqrt{5}$k，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接OD，
∵∠BAD=∠DAC，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{CD}$，
∴OD⊥BC，
∵DF∥BC，
∴OD⊥DF，
∴DF与⊙O相切；

（2）∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴设OD=3a，DF=4a，
∴OF=5a，
∴AF=8a，
如图2，连接BD，
∵DF与⊙O相切，
∴∠BAD=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△AFD∽△DFB，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{AF}{DF}$=$\frac{8a}{4a}$=2，
设AD=2k，BD=k，
∴AB=$\sqrt{5}$k，
∵∠BAD=∠CAD，
∴sin∠CAD=sin∠BAD=$\frac{BD}{AB}$=$\frac{k}{\sqrt{5}k}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．