【题目】如图,为等边三角形,,,点为线段上的动点,连接,以为边作等边,连接,则线段的最小值为___________.
【答案】
【解析】
连接BF,由等边三角形的性质可得三角形全等的条件,从而可证△BCF≌△ACE,推出∠CBF=∠CAE=30°,再由垂线段最短可知当DF⊥BF时,DF值最小,利用含30°的直角三角形的性质定理可求DF的值.
解:如图,连接BF
∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,AB=6,
∴BC=AC=AB=6,BD=DC=3,∠BAC=∠ACB=60°,∠CAE=30°
∵△CEF为等边三角形
∴CF=CE,∠FCE=60°
∴∠FCE=∠ACB
∴∠BCF=∠ACE
∴在△BCF和△ACE中
BC=AC,∠BCF=∠ACE,CF=CE
∴△BCF≌△ACE(SAS)
∴∠CBF=∠CAE=30°,AE=BF
∴当DF⊥BF时,DF值最小
此时∠BFD=90°,∠CBF=30°,BD=3
∴DF=BD=
故答案为:.
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【题目】如图,已知抛物线过点A(4,0),B(﹣2,0),C(0,﹣4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图,点M是抛物线AC段上的一个动点,当图中阴影部分的面积最小值时,求点M的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(-,0)、(0,-1),把点A绕坐标原点O顺时针旋转135°得点C,若点C在反比例函数y=的图象上.
(1)求反比例函数的表达式;
(2)若点D在y轴上,点E在反比例函数y=的图象上,且以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形.请画出满足题意的示意图并在示意图的下方直接写出相应的点D、E的坐标.
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【题目】如图1,△ABC中,∠ABC=90°,AB=1,BC=2,将线段BC绕点C顺时旋转90°得到线段CD,连接AD.
(1)说明△ACD的形状,并求出△ACD的面积;
(2)把等腰直角三角板按如图2的方式摆放,顶点E在CB边上,顶点F在DC的延长线上,直角顶点与点C重合.从A,B两题中任选一题作答:
A .如图3,连接DE,BF,
①猜想并证明DE与BF之间的关系;②将三角板绕点C逆时针旋转α(0°<α<90°),直接写出DE与BF之间的关系.
B .将图2中的三角板绕点C逆时针旋转α(0<α<360°),如图4所示,连接BE,DF,连接点C与BE的中点M,
①猜想并证明CM与DF之间的关系;②当CE=1,CM=时,请直接写出α的值.
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【题目】某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,(墙长25m)另外三边用木栏围成,木栏长40m.
(1)若养鸡场面积为200m2,求鸡场靠墙的一边长.
(2)养鸡场面积能达到250m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图①,四边形和四边形都是正方形,且,,正方形固定,将正方形绕点顺时针旋转角().
(1)如图②,连接、,相交于点,请判断和是否相等?并说明理由;
(2)如图②,连接,在旋转过程中,当为直角三角形时,请直接写出旋转角的度数;
(3)如图③,点为边的中点,连接、、,在正方形的旋转过程中,的面积是否存在最大值?若存在,请求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某校初二数学兴趣小组活动时,碰到这样一道题:
“已知正方形AD,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,若,则EG=FH”.
经过思考,大家给出了以下两个方案:
(甲)过点A作AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;
(乙)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N;
(1)对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1)
(2)如果把条件中的“”改为“EG与FH的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为(如图2),试求EG的长度.
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【题目】探究与发现:
探究一:我们知道,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.那么,三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢?
已知:如图1,∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角,试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系.
探究二:三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系?
已知:如图2,在△ADC中,DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD,试探究∠P与∠A的数量关系.
探究三:若将△ADC改为任意四边形ABCD呢?
已知:如图3,在四边形ABCD中,DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD,试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系.
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