Question

【题目】已知y关于x的二次函数：y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n．

（1）当m=t=0时，判断该函数图象和x轴的交点个数；

（2）若n=t=3m，当x为何值时，函数有最值；

（3）是否存在实数m和t，使该函数图象和x轴有交点，且n的最大值和最小值分别为8和4？若存在，求m和t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)x=函数有最大值为 (3) 不存在实数m和t，使该函数图象和x轴有交点

【解析】试题分析：（1）利用判别式求交点个数.(2)化简二次函数，配方，求最值.(3)配方求最值，最值用n,m,t表示，假设且n的最大值和最小值分别为8和4，代入求m,t,无解.

试题解析：

（1）当m=t=0时，y=﹣nx2+nx﹣n，

△=n2﹣4×(﹣)n×（﹣n）=﹣n2，

当n=0时，△=0，该函数图象与x轴有1个交点；

当n≠0时，△＜0，该函数图象与x轴没有交点；

（2）若n=t=3m，抛物线的解析式为：y=（m﹣3m）x2+3mx=﹣mx2+3mx=﹣m（x﹣）2+，

当﹣m＞0，即m＜0时，

所以当x=时，函数有最小值为，

当﹣m＜0，即m＞0时，

所以当x=时，函数有最大值为；

（3）y=（m﹣n）x2+nx+t﹣n，

△=n2﹣4×（m﹣n）（t﹣n）=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

设w=﹣n2+2（m+t）n﹣2mt，

∵该函数图象和x轴有交点，

∴w≥0，

∵n的最大值和最小值分别为8和4，

∴新二次函数w与n轴有两个交点为（4，0）和（8，0），

则w=﹣（n﹣4）（n﹣8）=﹣n2+12n﹣32，

∴,

,

此方程组无实数解，

∴不存在实数m和t，使该函数图象和x轴有交点．