Question

16．如图，已知：在正方形ABCD中，点P在AC上，PE⊥AB于E，PF⊥BC于F．
（1）试判断线段EF与PD的长是否相等，并说明理由．
（2）若点O是AC的中点，判断OF与OE之间有怎样的位置和数量关系？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接BP，易证四边形EPFB是矩形，由矩形的性质即可证明EF=PD；
（2）OF与OE垂直且相等，连接BO，证明△EBO与△FCO全等即可．

解答 解：（1）EF=PD，理由如下：
连接BP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AD=AB，∠DAP=∠BAP=45°，
在△BAP和△DAP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠BAP=∠DAP}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴PD=PB，
∵PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，
∴∠PEB=∠PFB=90°，
∴四边形EPFB是矩形，
∴EF=PB，
∴EF=PD；
（2）OF与OE垂直且相等，理由如下：
连接BO，
∵点O是AC的中点，
∴∠EBO=∠FCO=45°，
∵BF=EP，AE=EP，
∴AE=BF，
∴BE=CF，
在△EBO和△FCO中
$\left\{\begin{array}{l}{BO=CO}\\{∠EBO=∠FCO}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△EBO≌△FCO，
∴OE=OF，∠EOB=∠COF，
∵OB⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∴∠COF+∠BOF=90°，
∴∠EOB+∠BOF=90°，
即OE⊥OF．

点评 本题主要考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，解此题的关键是证明∠EOB=∠COF，题目较好但有一定的难度．