Question

1．已知二次函数y=x²+2ax+a²-a+2的图象与x轴的两个交点的坐标为（x₁，0）、（x₂，0），当（x₁-x₂）²-x₁x₂=-16时，此二次函数的解析式为y=x²+12x+32．

Answer 1

分析 由二次函数图象与x轴的交点坐标结合根与系数的关系，即可得出x₁+x₂=-2a、x₁•x₂=a²-a+2，将其代入（x₁-x₂）²-x₁•x₂=（x₁+x₂）²-5x₁•x₂中，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出a值，再根据二次函数图象与x轴有两个交点结合根的判别式，即可得出△=4a-8＞0，解之即可得出a的取值范围，从而可确定a的值，将a的值代入原二次函数解析式中即可得出结论．

解答 解：∵二次函数y=x²+2ax+a²-a+2的图象与x轴的两个交点的坐标为（x₁，0）、（x₂，0），
∴x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=a²-a+2，
∴（x₁-x₂）²-x₁•x₂=（x₁+x₂）²-5x₁•x₂=4a²-5（a²-a+2）=-a²+5a-10=-16，即a²-5a-6=0，
解得：a₁=-1，a₂=6．
∵二次函数y=x²+2ax+a²-a+2的图象与x轴有两个交点，
∴方程x²+2ax+a²-a+2有两个不相等的实数根，
∴△=（2a）²-4（a²-a+2）=4a-8＞0，
解得：a＞2，
∴a=6，
∴二次函数的解析式为y=x²+2ax+a²-a+2=x²+12x+32．
故答案为：y=x²+12x+32．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系以及根的判别式，通过根与系数的关系以及根的判别式，找出a值是解题的关键．