【题目】(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2)如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状并说明理由.
【答案】(1)见解析. (2)见解析. (3)△DEF为等边三角形.见解析.
【解析】
(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;
(2)由∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°,就可以求出∠BAD=∠ACE,进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE,就可以得出BD=AE,DA=CE,即可得出结论;
(3)由等边三角形的性质,可以求出∠BAC=120°,就可以得出△BAD≌△ACE,就有BD=AE,进而得出△BDF≌△AEF,得出DF=EF,∠BFD=∠AFE,而得出∠DFE=60°,就有△DEF为等边三角形.
(1)如图1,
∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,
∴∠BDA=∠CEA=90°,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(2)如图2,
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ADB和△CEA中,
,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE;
(3)如图3,
由(2)可知,△ADB≌△CEA,
∴BD=AE,∠DBA=∠CAE,
∵△ABF和△ACF均为等边三角形,
∴∠ABF=∠CAF=60°,BF=AF,
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,
∴∠DBF=∠FAE,
∵在△DBF和△EAF中,
,
∴△DBF≌△EAF(SAS),
∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,
∴△DEF为等边三角形.
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【题目】某电信公司有A、B两种计费方案:月通话费用y(元)与通话时间x(分钟)的关系,如图所示,下列说法中正确的是( )
A.月通话时间低于200分钟选B方案划算
B.月通话时间超过300分钟且少于400分钟选A方案划算
C.月通话费用为70元时,A方案比B方案的通话时间长
D.月通话时间在400分钟内,B方案通话费用始终是50元
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【题目】(1)在数轴上表示下列各数,并用“<”号把它们连接.
3, -1, 0, -2.5, 1.5, 2
(2)快递员要从物流中心出发送货,已知甲住户在物流中心的东边 2km 处,乙住户在甲住户的西边 3km 处,丙住户在物流中心的西边 1.5km 处,请建立数轴表示物流中心、甲住户、乙住户、丙住户的位置关系.
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【题目】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台.若商店保持两种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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【题目】如图,已知直线与反比例函数()图像交于点A,将直线向右平移4个单位,交反比例函数()图像于点B,交y轴于点C,连结AB、AC,则△ABC的面积为_______.
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【题目】直线与直线垂直相交于点,点在射线上运动(点不与点重合),点在射线上运动(点不与点重合).
(1)如图1,已知、分别是和的角平分线,
①当时,求的度数;
②点在运动的过程中,的大小是否会发生变化?若发生变化,请说明变化的情况;若不发生变化,试求出的大小;
(2)如图2,延长至,已知、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于、,在中,如果有一个角是另一个角的3倍,请直接写出的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠A=45°,AB=,AC=6,点D,E为边AC上的点,AD=1,CE=2,点F为线段DE上一点(不与D,E重合),分别以点D、E为圆心,DF、EF为半径作圆.若两圆与边AB,BC共有三个交点时,线段DF长度的取值范围是_______.
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【题目】正方形ABCD中,E是BC上一点,F是CD延长线上一点,,连接AE,AF,EF,G为EF中点,连接AG,DG.
(1)如图1:若,,求DG;
(2)如图2:延长GD至M,使,过M作MN∥FD交AF的延长线于N,连接NG,若.求证:.
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【题目】把下列各数填入相应的括号里-2,100π,-5,0.8,-|+5.2|,0,0.1010010001…,-(-4)
正有理数集合:{ }
整数集合:{ }
负分数集合:{ }
无理数集合:{ }
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