Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，AB=4，点E在对角线AC上，连接BE、DE，

（1）如图1，作EM⊥AB交AB于点M，当AE=时，求BE的长；

（2）如图2，作EG⊥BE交CD于点G，求证：BE=EG；

（3）如图3，作EF⊥BC交BC于点F，设BF=x，△BEF的面积为y．当x取何值时，y取得最大值，最大值是多少？当△BEF的面积取得最大值时，在直线EF取点P，连接BP、PC，使得∠BPC=45°，求EP的长度．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析(3)

【解析】试题分析：（1）过点E作EM⊥AB，交AB于点M，易得AM=EM=1，再由勾股定理求得BE=；

（2）易证△BCE≌△DCE，得BE=DE，进而证明∠EDG=∠EGD，得EG=ED，从而得出结论；

（3）根据三角形面积公式得函数关系式，从而得出结论.

试题解析：（1）过点E作EM⊥AB，交AB于点M，

∵AE=，所以AM=EM=1，

∴BM=3，

∴BE=

（2）易证△BCE≌△DCE，

∴ BE=DE，∠CBE=∠CDE

∵EG⊥BE，∠BCD=90°，

∴∠CBE+∠CGE=∠CGE+∠EGD=180°

∴∠CBE=∠EGD

∴∠EDG=∠EGD

∴EG=ED

∴EG=BE

（3）

当时，

如图，容易求得∠EPC=∠ECP=22.5°，

∴PE=CE=，