Question

19．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、AC上的点，G是AB延长线上的一点，且EF∥CD，∠BEG=∠CDF，求证：DF=EG．

Answer 1

分析 连结BF，根据菱形的性质，通过SAS证明△CDF≌△CBF，根据全等三角形的性质得到DF=BF，∠CBF=∠CDF，根据等量代换得到∠BEG=∠CBF，根据平行线的判定得到BF∥EG，根据平行线的判定得到四边形EFBG是平行四边形，再根据平行四边形的性质和等量代换即可求解．

解答 证明：连结BF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD=CB，∠BCF=∠DCF，
在△CDF与△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠BCF=∠DCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF=BF，∠CBF=∠CDF，
∵EF∥CD，
∴EF∥AG，
∵∠BEG=∠CDF，
∴∠BEG=∠CBF，
∴BF∥EG，
∴四边形EFBG是平行四边形，
∴BF=EG，
∴DF=EG．

点评 考查了菱形的性质，同时利用了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，平行四边形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．．